On connectedness and dimension of a Besicovitch space over SZ.
Résumé
We prove that the topological space szd, proposed in is path-connected and has infinite dimension. The latter property makes of this space a more natural setting for cellular automata when they are considered as a solutions of difference equations. In fact, difference equations are defined on an infinite dimensional space. On the contrary the classical product topology on SZ is zero-dimensional. Moreover we present a transitive dynamical system on szd, whose existence was given as an open problem in. Another interesting property that we prove is that szd is not separable. This property partially explain the ``difficulty'' of finding transitive systems on such a space. We also prove that some properties of Toeplitz sequences on szd and as a byproduct we obtain a ``weak fixed point'' theorem for continuous mappings on szd. Finally we sketch an interesting connection between infinite Sturmian words and szd.
On prouve que l'espace topologique szd, proposé dans, est connexe et que sa dimension topologique est infinie. Cette dernière proprieté rend cette espace plus naturel pour l'étude des automates cellulaires, par exemple quand ils sont considerés comme solutions des équations aux différences. En effet, l'espace des équations aux différences a une dimension infinie. Alors que la topologie produit classique sur szd donne un espace de dimension zéro. De plus, nous exhibons un système dynamique topologiquement transitif sur szd; l'existence d'un tel système a été donnée comme problème ouvert dans. Une autre propriété intéressante de szd est la non-separabilité, qui explique en part ``la difficulté'' de trouver des systemes transitifs sur cet espace. On prouve aussi quelques propriétées des suites de Toeplitz sur szd. Comme corollaire, on obtient un theoreme faible de point fixe. Nous montrons aussi quelques relations entre szd et l'ensemble des mots Sturmiens infinis.
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