On the mortality problem for matrices of low dimensions
Résumé
In this paper, we discuss the existence of an algorithm to decide if a given set of 2 \times 2 matrices is mortal: a set F=\{A_1,\dots,A_m\} of 2 \times 2 matrices is said to be \motnouv{mortal} if there exist an integer k \ge 1 and some integers i_1,i_2,\dots,i_k \in \{1, \ldots, m\} with A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_k}=0. We survey this problem and propose some new extensions: we prove the problem to be BSS-undecidable for real matrices and Turing-decidable for two rational matrices. We relate the problem for rational matrices to the entry equivalence problem, to the zero in the left upper corner problem and to the reachability problem for piecewise affine functions. Finally, we state some NP-completeness results.
Dans ce papier, nous discutons l'existence d'un algorithme pour décider si un ensemble donné de matrices 2 \times 2 est mortel: un ensemble F=\{A_1,\dots,A_m\} de matrices 2 \times 2 est dit \motnouv{mortel} s'il existe un entier k \ge 1 et des entiers i_1,i_2,\dots,i_k \in \{1, \ldots, m\} avec A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_k}=0. Nous présentons une synthèse des résultats connus sur ce problème et présentons quelques extensions: nous prouvons que le problème est BSS-indécidable pour les matrices réelles et Turing-décidable pour les matrices rationnelles. Nous relions le problème au problème de l'égalité des coefficients, au problème du zéro dans un coin et au problème de l'atteignabilité pour les fonctions affines par morceaux. Enfin, nous établissons des résultats de NP-complétude.
Domaines
Informatique [cs]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)