Effective lower and upper bounds for the Fourier coefficients of powers of the modular invariant j
Résumé
Using an elementary approach based on careful handlings of Cauchy integrals, we give precise effective lower and upper bounds for the Fourier coefficients of powers of the modular invariant j. Moreover, we adapt an old result of Rademacher to get an convergent series expansion of the Fourier coefficients and we show that this expansion allows to find again these estimates. Our results improve previous ones by K. Mahler and O. Hermann. In particular, we show that Fourier coefficients of j are smaller than their asymptotically equivalent given by Petersson and Rademacher
En utilisant une approche élémentaire consistant en une manipulation précise d 'intégrales de Cauchy, nous établissons des minorants et des majorants fins des coefficients de Fourier des puissances de l'invariant modulaire j. De plus, nous adaptions un résultat ancien de Rademacher pour obtenir un développement en série convergente des ces coefficients de Fourier et nous montrons que ce développement permet de retrouver ces estimations. Nos résultats améliorent les résultats de K. Mahler et O. Hermann sur ce sujet. En particulier, nous démontrons que les coefficients de Fourier de j sont inférieurs à leur équivalent en l'infini établie par Peterson et Rademacher
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