Hierarchical Gaussian fields and Gibbs measures
Champs gaussiens hiérarchiques et mesures de Gibbs
Résumé
This work is devoted to the study of Gaussian branching processes and their link with a class of models in statistical physics called hierarchical Gaussian fields. The first chapter is dedicated to the study of the overlap at two temper atures when the energies are given by the positions of the particles in a branching Brownian motion. In particular, it is shown that the overlap at two supercritical temperatures differs from the independent case (Random Energy Model) -a difference not observed at a single temperature- by establishing a strict inequality between their mean values. The second chapter is a joint work with Michel Pain and Olivier Zindy. We extend our analysis of the repercussions of the decoration processes on two-temperature overlaps in the spirit of the work by Derrida and Mottishaw and on the temperature susceptibility as defined by Fisher and Huse. We show that in the vicinity of the critical temperature, the average overlap behaves more regularly than its independent counterpart. We also establish sharp estimates on the behavior of the susceptibility in the vicinity of the critical temperature. In the last chapter, we present a joint work with Vincent Vargas on the subcritical derivative martingale of the binary Gaussian branching random walk and in which we answer a conjecture by Lacoin, Rhodes and Vargas in the specific framework of a hierarchical Gaussian field. There, we obtain precise estimates on the left tail of the derivative martingale in the so-called L4 phase.
Ce travail est consacré à l’étude des processus branchants gaussiens et leur lien avec une classe de modèles en physique statistique appelés champs gaussiens hiérarchiques. Le premier chapitre est dédié à l’étude de l’overlap à deux températures lorsque les énergies sont données par les positions des particules d’un mouvement brownien branchant. On montre notamment que l’overlap à deux températures surcritiques diffère du cas indépendant (Random Energy Model) - différence que l’on n’observe pas à une seule température - en établissant une inégalité stricte entre leurs valeurs moyennes. Le deuxième chapitre est issu d’un travail en commun avec Michel Pain et Olivier Zindy. Nous poursuivons l’étude des effets des processus de décoration sur l’overlap à deux températures dans l’esprit de Derrida et Mottishaw et sur la susceptibilité en température telle qu’elle est définie par Fisher et Huse. Nous montrons qu’au voisinage de la température critique, l’overlap moyen a un comportement plus régulier que son homologue indépendant. Nous établissons également des estimées fines concernant le comportement de la susceptibilité au voisinage de la température critique. Le dernier chapitre présente un travail avec Vincent Vargas qui concerne la martingale dérivée sous-critique de la marche aléatoire branchante binaire et gaussienne et dans lequel nous répondons à une conjecture de Lacoin, Rhodes et Vargas dans le cadre particulier d’un champ gaussien hiérarchique. Nous obtenons des estimées précises sur la queue à gauche de la distribution dans la phase dite L4.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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