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, il est ouvert et exploite une source naturelle de structures mathématiques, l'arithmétique; . les notions de "naissance-vie-mort" peuvent apparaître structurellement à tous les niveaux d'organisation; . l'imbrication de nombreux niveaux peut être décrite simplement

, La clef de voûte du formalisme est la relation d'adaptation à l'environnement, découverte par Cl

. Elle, Sa signification diffère selon le domaine scientifique (physique, biologique, informatique, socio-économique), non pas dans un référentiel spatio-temporel classique

, Jusqu'en 1988, les relateurs arithmétiques (R.A.) ont été présentés à partir de considérations systémiques. C'est notamment le cas de la présentation faite en 1986 à Cerisy-La-Salle, lors du colloque "Perspectives Systémiques I" organisé par B. Paulré [S8, GENERALITE DES STRUCTURES ADOPTEES Liaison avec les structures de Lie, pp.89-104

, a établi cette jonction en montrant que les structures de base des R.A., directement liées aux groupes cristallographiques et appelées BCR (Basic Cyclic Relators), peuvent être mises en relation avec les systèmes de racines des algèbres de Lie semi-simples. Par ailleurs, des mathématiciens ont montré que ces systèmes de racines étaient en relation étroite avec les plus simples des singularités des applications différentiables et avec la théorie des noeuds (**). Il est amusant et réconfortant de constater que deux approches théoriques nouvelles applicables en biologie, Thom a incité le groupe Systema à établir un lien entre cet outil et les structures de Lie qui jouent un rôle fondamental dans la physique actuelle (*), vol.3, pp.505-514

. A. Le-"principe-de-spécularité"-suivant-:-«..-;-r, Dans la relation entre deux individus X et Y intervient la relation A de X avec l'environnement V et la relation B de Y avec V. L'environnement V est comparable, non pas à X ou à Y, mais au produit AX ou BY; c'est donc une variable de synthèse. (Une transposition en physique éclaire ce point : si X représente une longueur et A une quantité de mouvement, V a la dimension d'une action; c'est la dimension de la constante de Planck h. En d'autres termes, * Une algèbre de Lie est "tangente" à un groupe de Lie. Ces groupes ont une grande importance en physique moderne, quantique ou non quantique, car ils expriment l'invariance d'une structure. Par exemple, les notions d'isospin et d'hypercharge, qui interviennent dans la théorie des quarks, sont directement issues du, Un très bref rappel sur les systèmes de racines est donné en, vol.7, p.232

. Le-bcr-sous-jacent-de,

;. V. **-la and . Arnold, E. Brieskom vers, vol.6, p.154, 1970.

R. A. Fonctionnement-d'un, Par hypothèse, le résultat d'une réflexion doit toujours être entier. Cela signifie qu'une entité non entière n'a pas de sens dans le cadre du modèle (dans une population d'êtres humains vivant naturellement, la notion de "demi-homme

, Voici une interprétation : supposons que le système modélisé soit un atelier de production et que certains facteurs de ui = (X'2+eX'Y'+Y'2) déterminent (*) un nombre de produits en cours d'assemblage. Le reste a de la division de X' par P (on écrit : X' z a modulo P) caractérise un type particulier de pièces du produit considéré. Quand X' n'est pas divisible par P, il y a manque de la pièce de type a. L'atelier demande au magasin central de renouveler le stock de ces pièces, autrement dit, il fait appel à son environnement. Si la demande est automatiquement satisfaite, le système est "adapté à son environnement". La congruence (0) formalise de façon idéale cette adaptation dans la mesure où D, A et B sont des entiers premiers avec P. Mais si cette dernière condition n'est pas satisfaite, des blocages irréductibles peuvent survenir. De cette façon, sont modélisées les extrémités d'une molécule chimique non cyclique, la fin d'un message, l'inadaptation d'un sous-système ou la mort d'un système. Les réflexions principales sont régulièrement alternées, ) montre que le résultat de V est toujours entier. Cela signifie que l'environnement est supposé très stable vis-à-vis du système. Par contre, les réflexions Hy relatives aux variables principales

, Ce qui manque est obtenu par classification

, Ils engendrent cycliquement un nombre fini d'états et ne provoquent jamais de blocage. En général, plusieurs BCR sont directement associés au système de racines d'une algèbre de Lie semi-simple. Par exemple, les BCR ayant * m' résulte d'une orthogonalisation partielle de

, On utilise "l'effet miroir

, Ces concepts, complétés par d'autres dus à L. Nottale [S4], pourraient avoir de multiples applications en chimie, biologie, pharmacologie, neurophysiologie, informatique (pour la traduction automatique, le traitement des données, caractéristiques physiques évaluées dans un environnement donné peut être attachée une classe de fonctionnement

, doit donc pouvoir s'appliquer à différents niveaux d'organisation allant de l'échelle subquantique (définition d'un système d'unités physiques privilégié où apparaît la longueur de Planck, égale à 1.6 10-35 m) à l'échelle planétaire ou cosmique, en passant par la modélisation d'atomes, de structures moléculaires hélicoïdales et même de configurations florales, La présentation des R.A. à partir des algèbres de Lie paraît imposer la mise en oeuvre d'outils mathématiques compliqués alors qu'en réalité les R.A. ont été développés à partir de bases mathématiques simples avec l'idée qu'ils représentaient des structures mentales primordiales. D'après les hypothèses faites, 1979.

M. De and . Ferré, et de la possibilité d'inclure un R.A. gérant le développement d'un système naturel dans des parties de ce système (à la manière des chromosomes existant dans les cellules d'un organisme pluricellulaire), le principe suivant a été adopté : Un système vivant possède une structure qui paraît approximativement invariable sous de certains changements de niveaux, Compte tenu de toutes les vérifications partielles effectuées, de la mise en oeuvre de transformations réalisant des changements de niveaux (cf. travaux de L

, Le gain de connaissance apporté par l'imbrication des niveaux est compensé, d chacun de ces niveaux, par des restrictions sur le domaine d'applicabilité des modèles et sur le degré d'applicabilité des connaissances obtenues

. Element and . De-deplacement,

. Le-concept-d'esd-remplace-celui-d'élément and . Différentiel, Grâce à des changements d'échelle, un ESD peut être rendu arbitrairement petit; un passage à la limite peut redonner globalement l'élément différentiel ordinaire. Mais alors que la structure des niveaux d'organisation inférieurs est gommée dans cet élément, cette structure persiste dans un ESD. Un aspect linguistique est associé à un ESD

, Voici un exemple d'étirement par X, réalisé à partir de (1) dans le cas de e=0. Sur la figure 3, sont portées, en abscisse et en ordonnée, des quantités proportionnelles respectivement au nombre i de réflexions principales effectuées et à X(T); par hypothèse, la configuration est stationnaire (ESD = 0). L'évolution, qui dépend de la classe de, Allure fractale de certains ESD. Les ESD sont engendrés par des R.A. bâtis autour d'une forme support dégénérée

, En fait, cette contrainte ne s'applique pas si la classe de fonctionnement du R.A. est connue car il suffit de faire fonctionner deux R.A. en synchronisme : l'un, appelé pilote, fonctionne avec la valeur de P positive la plus faible (fixée par les conditions de verrouillage de la classe) et détermine la position des appels à l'environnement dans la suite des réflexions principales; l'autre positionne les états dans les différents sous-amas, Iterated Function System" (IFS), concept défini par M. Barnsley [10]; il est donc assimilable à un chiffres significatifs

, Un état particulier du R.A. positionne un sous-système à un noeud du réseau considéré. Dans le modèle le plus simple, l'évolution de la position de ce sous-système est fixée par le comportement naturel du R.A., le temps t repérant le nombre de passages dans l'amas qui détermine ce réseau, Champ informationnel associé à un système générique. Plusieurs significations physiques peuvent être attribuées aux réseaux obtenus par "linéarisation" d'un R.A. L'une d'elles peut être définie dans l'espace des positions ou dans l'espace des impulsions

$. Soient, Au lieu de vouloir connaître exactement le comportement d'un sous-système après passage dans un sousamas, on peut chercher à le connaître seulement de façon limitée, pendant une durée At plus ou moins grande. De ce point de vue, il est souhaitable de disposer de deux développements limités complémentaires : l'un donnant approximativement la position, et l'autre, l'amorce du comportement. Si la position du sous-système pouvait être connue avec une extrême précision et si, de plus, K et P étaient également connus, les composantes entières X,Y,V pourraient être déduites des valeurs rationalisées. Mais ce n'est le cas, ni pour un système physique, ni pour le R.A. qui le modélise! Il est donc naturel d, et $j deux séquences réduites relatives à des passages dans le même sous-amas, l'un au temps ti, l'autre au temps tj

, (*) Au contraire, si les composantes X,Y,V sont écrites en base P, la position du sous-système dans un amas est donnée par les termes de degré le plus élevé en P, (le terme en PK détermine l'amas, et celui en pK-1, le sous-amas). Le R.A. piloté fournit une "position géométrique" alors que le pilote fournit une "position informationnelle, Le dernier symbole d'une séquence réduite $i est fourni par les termes de plus bas degré, l'avant dernier par les termes de degré supérieur

, Hensel vers 1913; cf., notamment, le début de la, * Les entiers p-adiques et les nombres p-adiques ont été introduits par K

, ce modèle à un système de neurones formels après avoir exprimé le caractère "objectif' d'une descripton. On définit d'abord "l'observation pacifique" d'un système. Puis le rôle du système observé et celui de l'observateur-acteur pacifique sont permutés. Les états communs aux systèmes observé et à cet observateur constituent une description "objective". C'est une notion beaucoup plus ouverte que celle habituellement adoptée puisque l'observateur-acteur pacifique cherche à s'adapter au mieux au système observé, Or, depuis une cinquantaire d'années, certaines équations de diffusion sont résolues au moyen de marches au hasard sur des réseaux (la répartition des neutrons dans un réacteur nucléaire a été l'un des premiers domaines d'application)

, En bref, le 1/2 pilote fournit une suite de séquences réduites, chacune d'elles comportant au plus K/2 symboles particuliers (***) éventuellement précédés et/ou suivis par une réflexion V. Chaque symbole est ensuite remplacé par un doublet (****). La structure binaire se manifeste à la périphérie d'un morceau tétraédrique de réseau tridimensionnel (la dimension supplémentaire est définie par K). Le fonctionnement du 1/2 pilote induit un "temps interne" caractérisé par une structure d'imbrication ternaire alors que le temps "objectif' correspond à une structure d'imbrication binaire. Par rapport au temps objectif, le temps interne se présente donc comme un temps fractal . A notre avis, ce résultat recoupe des préoccupations d'autres physiciens

*. Voir,

*. Caractère, pseudo-aléatoire" d'un cheminement peut être évalué de façon précise

*. Dans-le-cas-simple and . Considéré, il y a 3 symboles différents, notés 0,1, 2. Ils représentent respectivement x ou y, xVy ou yVx, xVyVx ou yVxVy. Les chiffres utilisés représentent le nombre de réflexions V (ce codage est justifié par le théorème de L. Nottale [S4]). Dans une séquence réduite, l'alternance de x et de y doit être respectée. K est supposé pair. Enfin, rappelons que les réflexions x

. ****-l, La somme des chiffres d'un doublet doit être égal à 4. Ce codage est étudié en vue d'application aux "milieux aqueux structurés" et à une modélisation de l'ADN. Par rapport au temps interne, il y a répartiton des états sur des sous-réseaux disjoints, régulièrement déphasés les uns par rapport aux autres. Pour prendre en compte ce déphasage, on utilise des nombres complexes. Cela conduit à une interprétation nouvelle des amplitudes de probabilité de la mécanique quantique qui engendrent les phénomènes d'interférence, Cette procédure est généralisable dans le cas où, p.1

R. A. , génériques comportant deux variables d'environnement. Les systèmes physiques non quantiques font souvent apparaître le caractère irréversible du temps qui ne se manifeste pas dans les R.A. à une seule variable d'environnement étudiés dans les paragraphes précédents

, En pratique, les modèles génériques applicables en thermodynamique et en physique macroscopique sont fondés sur de tels R.A. La plus sérieuse difficulté provient de l'absence actuelle d'étude mathématique approfondie

, Chauvet assimile les phénomènes de viellissement d'un organisme vivant à des désynchronisations produites par une augmentation de KI et de K2. Cl. Vallet [S 14] compare un R.A. à 1 variable d'environnement à une vie foetale idéalisée alors que les R.A. à deux variables évoquent la vie postnatale. Mais Cl. Vallet fait également remarquer que les R.A. quadratiques sont insuffisants et que futilisation de R.A. bi-et multi-quadratiques est indispensable. Ce point de vue n'est pas étonnant puisque les formes de "neurones" et de "cellules gliales" présentées sur la figure 2 sont obtenues à partir d'une condition de bifurcation (*) entre deux modes de fonctionnement : l'un généralise celui en, Néanmois, des applications en biologie et dans les sciences humaines sont envisagées dès à présent. Fr

X. and Y. , En faisant émerger de deux façons différentes la notion de température (par fexposant H, défini dans les valeurs intiales en fonctionnement A,B,VI, et par certains coefficients du support en fonctionnement X,Y,Vi,V2), Cl. Vallet propose une modélisation de la condition d'homéothermie qui, sont considérés comme des constantes; les réflexions x, y sont remplacées par des réflexions a, b)

, * Ceue bifurcation joue également un rôle fondamental dans la description de la ramification (cf. travaux de M

H. L. Ferré and . Guyader,

, En mécanique, elle exprime la possibilité de modification des quantités de mouvement et, plus généralement

. **-cette-expression-de-p-n, Pour obtenir les formes neuronales, on fait appel aux congruences quadratiques de classe (13) qui se manifestent clairement si le R.A. possède au moins 3 variables principales. Dans le cas d'une seule variable d'environnement, l'ensemble des conditions de verrouillage quadratiques de la classe (0) peut être obtenu par un théorème de Fr. Chauvet, fondé sur le groupe de Weyl du système de racines associé au BCR sous-jacent (rappelons que les conditions de verrouillage transgressées deviennent des congruences exceptionnelles). La généralisation de ce

, Dès que la nouvelle entreprise est créée, elle est confrontée à l'environnement réel; il faut donc introduire une deuxième variable d'environnement. Si la structure a été bien choisie, Kt est égal à K2; et, du point de vue des rythmes internes, le R.A. se comporte comme s'il n'y avait qu'une seule variable d'environnement. Cette application fournit aussi une interprétation simple d'un système générique. Le soussystème "baladeur" peut être représenté par un stagiaire qui prend successivement la place des différents membres de l'entreprise

. Enfin, nous mentionnerons une autre tentative d'application des R.A. dans le domaine soncio-économique

, Paulré introduit «l'idée de structure causale» en rappelant que la causalité «demeure une opération par laquelle un observateur attribue une capacité d'action à des objets réels et ne constitue pas une qualité intrinsèque aux objets ainsi désignés»; et il poursuit : «avec cette ... approche de la causalité,... s'impose une autre conception de la notion de système, BOUCLAGES STRUCTURELS Un problème fondamental concerne le bouclage structurel des descriptions séquentielles et parallèles. L

, A notre avis, la causalité "interne" implique l'usage de référentiels "espaces-temps-imbrications" qui ne peuvent pas être réduits à l'espacetemps habituel. En effet, la description fournie par un R.A. générique à une variable d'environnement prend en compte non seulement le passé mais également un certain futur idéalisé, qui provient de la structure d'imbrication rigide associée au R.A. générique. Ce futur ne peut pas se manifester si un observateur-acteur cherche à exploiter arbitrairement les connaissances déduites de la structure d'imbrication, car il déforme alors cette structure, Autrement dit des rapports qui n'expriment pas des liaisons de necesssité logique ou empirique (lois entre observables) pour l'observateur, mais qui sont "internes" au phénomène étudié...». Référentiels "espaces-temps-imbrications

, Le problème du bouclage structurel rejoint le principe "d'invariance approchée sous l'effet de changements d'échelle" (exprimé au paragraphe 3), dans la mesure où certains niveaux d'imbrication correspondent effectivement à des niveaux d'organisation. Voici comment ce problème est abordé en, Niveaux de description et niveaux d'organisation, vol.12

, En bref, on distingue plusieurs types de niveaux de description : les niveaux de structuration, les niveaux de fonctionnement qui résultent de la compatibilité "locale" des descriptions séquentielles et parallèles, et les niveaux de synthèse. Un niveau d'organisation émerge s'il y a cohérence, Les niveaux d'organisation sont définis à partir d'une réflexion sur les niveaux de description, pp.303-316

N. Changement-de, Il peut être réalisé pas à pas de la façon suivante

L. R. Dans-une-première-Étape and . Est, linéarisé", ce qui implique le choix d'un BCR limite et d'un pilote; on obtient ainsi un espace vectoriel tangent

, ensuite, une partie de cet espace vectoriel est muni d'une métrique adéquate

, La "linéarisation" fait apparaître des variables adimensionnelles; elle présente une grande analogie avec la procédure associant une algèbre de Lie à un groupe de Lie. Le choix d'une métrique adéquate est apparenté à la détermination de la forme de Killing; elle doit d'ailleurs déboucher sur un BCR sous-jacent (compte tenu d'un éventuel "effet miroir). Enfin, l'introduction de propriétés affines évoque les systèmes de racines associés aux algèbres de Kac-Moody. Mais il s'agit seulement d'analogies car il faut prendre en compte plusieurs points de vue (la linéarisation peut concerner un fonctionnement en, Un changement de niveau est réalisé si la forme quadratique obtenue peut être considérée comme la partie d'un R.A. stabilisé dégénéré où n'interviennent que des variables principales et s'il est possible de lui adjoindre un environnement qui le stabilise

R. A. Liaison, En fait, le raisonnement précédent fait intervenir deux types de liaison avec les structures de Lie. Il y a la coorespondance établie par Ph. Riot : elle se situe au niveau du BCR sous-jacent qui est interprété comme un système de racines, -systèmes de racines d'algèbres de Lie

, la forme quadratique invariante est liée au support du R.A. Le changement de niveaux esquissé précédemment revient donc à considérer le BCR d, dans le cas des groupes de Lie SO(n)

. Bouclage-le-plus-simple, R. A. Soit-r-un, and R. , Dans le cas le plus simple, R(1) décrit les transformations laissant invariante la structure stabilisée de R. C'est le R.A. appelé "relateur dual" par L. Nottale car le bidual jt(2) peut être le R.A. initial R. Les transformations décrites par 9

R. A. Le, Le concept d'ESD est fondamental pour les applications en systémique car il ne gomme pas la structure des sous-systèmes et introduit une description du système global à l'intérieur des éléments de description. Penser en terme d'ESD revient à remplacer mentalement les petits parallélépipèdes du calcul intégro-différentiel par des cellules vivantes! Les systèmes génériques apportent une cohérence globale et de nouvelles idées sur les notions d'espace et de temps qui doivent être étroitement couplées aux imbrications de niveaux. Un langage de description, fondé sur des types de singularités, des classes de fonctionnement et des nombres d'information virtuelle, devrait exprimer des relations de voisinages et le développement de dynamiques dans un champ morphogénétique. La première vérification concernera le niveau cellulaire (construction d'une protéine à partir d'un brin d'ADN). Ensuite, ce langage devrait devenir un langage de communication utilisable simultanément à différents niveaux, en comportant flou et ambiguïtés. A notre avis, les R.A. formalisent des idées mentionnées par plusieurs physiciens actuels. Il existe d'ailleurs des liens étroits entre R.A. et d'autres outils, notamment la théorie des singularités, la dynamique chaotique, les fractals, est un outil mathématique développé spécifiquement pour l'étude des systèmes naturels. Il exprime de façon très générale un principe d'adaptation d'un système à son environnement et s'appuye sur des structures sous-jacentes associées, notamment, aux algèbres de Lie et aux catastrophes élémentaires

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