Mathematical modelling, observation and identification of epidemiological models with reinfection
Modélisation mathématique, observation et identification de modèles épidémiologiques avec réinfection
Résumé
The subject of this work is the mathematical modelling of infectious diseases with reinfections and the analysis of the corresponding models. First, we introduce a general class of compartmental models counting the number of reinfections, consisting of an infinite number of ordinary differential equations, and study its well-posedness. The proposed class also allows for the modelling of heterogeneous transmission, whose characteristics depend upon the number of past reinfections. In the homogeneous situation (where the past reinfections do not affect disease transmission), the global behavior obeys a usual compartmental model. Asymptotic results are established, and formulas giving the mean number of reinfections at the endemic equilibrium are provided. Next, we investigate a two-stage reinfection model intended for the modelling of diseases for which the subsequent reinfections behave differently from the primary infection. We describe thoroughly the steady states of the model, which may contain up to three endemic equilibriums, and study the disease persistence. Employing Li and Muldowney theory, we prove asymptotic convergence of every trajectory, in a particular case that may exhibit multiple endemic equilibriums. Using semigroup theory, we then establish the well-posedness for a class of models structured both in age and number of reinfections. The latter are constituted by an infinite number of partial differential equations. This allows the computation of several interesting quantities at endemic equilibrium, such as the average age in each compartment or the mean number of reinfections at each age. Finally, we investigate some issues of Control theory, more precisely whether the use of additional reinfection data may improve parameter and state estimation. To this end, we study identifiability and observability of a SIS model, based on the measure of the number of infected and of primary infected, and propose an asymptotic observer and an adaptive observer respectively for the state, and for the joint state and parameter, estimation.
Le sujet de ce travail est la modélisation mathématique des maladies infectieuses avec réinfections et l'analyse des modèles correspondants. Nous introduisons d'abord une classe générale de modèles compartimentaux comptant les réinfections, constitués d'un nombre infini d'équations différentielles ordinaires, et nous étudions leur caractère bien posé. La classe proposée permet également de modéliser une transmission hétérogène, dont les caractéristiques dépendent du nombre de réinfections antérieures. Dans le cas homogène (où les réinfections passées n'affectent pas la transmission de la maladie), le comportement global obéit à un modèle compartimental usuel. Des résultats asymptotiques sont établis et des formules donnant le nombre moyen de réinfections à l'équilibre endémique sont données. Nous étudions ensuite un modèle de réinfection à deux étages destiné à la modélisation de maladies pour lesquelles les réinfections ultérieures se comportent différemment de l'infection primaire. Nous décrivons en détail les équilibres du modèle, qui peut contenir jusqu'à trois équilibres endémiques, et étudions la persistance de la maladie. Grâce à la théorie de Li et Muldowney, nous prouvons la convergence asymptotique de chaque trajectoire dans un cas particulier qui peut présenter plusieurs équilibres endémiques. En utilisant la théorie des semigroupes, nous établissons ensuite le caractère bien-posé d'une classe de modèles structurés à la fois en âge et en nombre de réinfections. Ces derniers sont constitués d'un nombre infini d'équations aux dérivées partielles. Ceci permet de calculer plusieurs quantités intéressantes à l'équilibre endémique, telles que l'âge moyen dans chaque compartiment ou le nombre moyen de réinfections à chaque âge. Nous examinons enfin des questions de théorie du contrôle, plus précisément si l'utilisation de données supplémentaires sur les réinfections peut améliorer l'estimation des paramètres et de l'état. À cette fin, nous étudions l'identifiabilité et l'observabilité d'un modèle SIS, basées sur la mesure du nombre d'infectés et de primo-infectés, et proposons un observateur asymptotique et un observateur adaptatif respectivement pour l'estimation de l'état, et pour l'estimation conjointe de l'état et des paramètres.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|---|
| licence |
