Contribution in topological optimization and application to nanophotonics - Calcul des Variations, Géométrie, Image Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Contribution in topological optimization and application to nanophotonics

Contribution à l'optimisation de forme et application à la nanophotonique

Résumé

This thesis focuses on the mathematical field of shape optimization and explores two topics:one concerns the systematic determination of the design of nanophotonic components and the other one the optimal shape and location of boundary conditions defining partial differential equations (PDE).• In the mathematical setting of the three-dimensional, time-harmonic Maxwell equations, we proposea shape and topology optimization algorithm combining Hadamard’s boundary variation methodwith a level set representation of shapes and their evolution. A particular attention is devotedto the robustness of the optimized devices with respect to small uncertainties over the physical orgeometrical data of the problem. In this respect, we rely on a simple multi-objective formulation todeal with the two main sources of uncertainties plaguing nanophotonic devices, namely uncertaintiesover the incoming wavelength, and geometric uncertainties entailed by the lithography and etchingfabrication process. Several numerical examples are presented and discussed to assess the efficiencyof our methodology.• The second application concern the optimization of the shape of the regions assigned to different typesof boundary conditions in the definition of a “physical” PDE. This problem proves to be difficult inthe case of a Dirichlet-Neumann transition since it requires a precise study of the singular nature ofPDE solutions at the transition between two regions supporting these boundary conditions. On theone hand a full mathematical study is carried out on this theoretical problem and on the other handa numerical method based on a regularization of the boundary conditions is proposed to optimizethese regions. Various numerical examples are eventually presented in order to appraise the efficiencyof the proposed process.
Cette thèse contribue au domaine mathématique de l’optimisation de forme et explore deux sujets:l’une concerne la détermination automatique du design de composant nanophotonique et l’autre l’obtention de la forme optimale des conditions aux limites permettant de définir une équation au dérivées partielles (EDP).• Dans le cadre mathématique des équations de Maxwell tridimensionnelles et harmoniques dans letemps, nous proposons un algorithme d’optimisation de forme combinant la méthode d’Hadamard etune représentation des formes par la méthode level-set. Une attention particulière est accordée à larobustesse des dispositifs optimisés par rapport à des petites incertitudes sur les données physiques ougéométriques du problème. À cet égard, nous nous appuyons sur un algorithme provenant du domainede l’optimisation multi-objectifs pour traiter les deux principales sources d’incertitudes affectant desdispositifs nanophotoniques, à savoir les incertitudes sur la longueur d’onde de la lumière injectée ainsique les incertitudes géométriques liées au procédé de fabrication par lithographie-gravure. Plusieursexemples numériques sont présentés permettant d’évaluer l’efficacité de la méthode proposé.• La deuxième application concerne l’optimisation de la forme des régions affectées à différentes condi-tions limites dans la définition d’une EDP d’un problème “physique”. L’étude de ce problème s’avèreêtre délicate dans le cas d’une transition Dirichlet-Neumman car elle nécessite une analyse précise dela singularité des solutions d’une EDP à la transition entre deux régions supportant ces conditionslimites. Nous proposons d’une part une étude mathématique complète de ce problème dans le casde l’équation du Laplacien et d’autre part une méthode numérique basée sur une régularisation desconditions aux limites pour optimiser la forme de ces régions. Différents exemples numériques sontprésentés afin d’évaluer l’efficacité de notre méthode.
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  • HAL Id : tel-02518286 , version 1

Citer

Nicolas Lebbe. Contribution in topological optimization and application to nanophotonics. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Grenoble Alpes, 2019. English. ⟨NNT : 2019GREAM047⟩. ⟨tel-02518286⟩
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