A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures - Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures

Une approche polytopale des empilements apolloniens et des structures nouées discrètes

Iván Rasskin
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1120425

Résumé

In the last decades, Apollonian packings have drawn increasing attention due to their applications in number theory, geometric group theory, hyperbolic geometry, fractal structures and discrete geometry. In this thesis, we study a class of sphere packings where the combinatorics is carried by an edge-scribed polytope. Through this connection, Apollonian packings can be generalized in different geometric settings and in higher dimensions. The polytopal structure also allows us to obtain a generalization of the Descartes’ Theorem for the sphere packings which are based on the regular polytopes in every dimension. We use the polytopal generalization of the Descartes’ Theorem to find integrality conditions of the Apollonian packings based on the Platonic solids. Then, we introduce the notion of Apollonian section, and we use it to show that the set of curvatures of any integral tetrahedral, octahedral or cubical Apollonian packing is contained in the set of curvatures of an integral orthoplicial Apollonian packing. The polytopal approach that we propose also allows us to extend the applications of Apollonian packings into a novel direction in the area of topology. In this thesis, we introduce two methods of construction of necklace representations of knots and links. The first method follows directly from the Koebe-Andreev- Thurston Circle Packing Theorem and gives a linear upper bound on the minimum number of spheres needed to construct a necklace representation in terms of the crossing number. In the second method, we use the fractal structure of orthoplicial Apollonian packings to construct necklace representations of rational links with interesting arithmetical properties.
Les empilements apolloniens ont attiré l’attention des mathématiciens en raison de leurs applications en théorie des nombres, théorie géométrique des groupes, géométrie hyperbolique, structures fractales et géométrie discrète. Dans cette thèse, nous introduisons une classe d’empilements de sphères où la combinatoire est donnée par un polytope inscrit aux arêtes. À travers cette connexion, nous généralisons les empilements apolloniens dans d’autres contextes géométriques et en dimensions supérieures. Cette structure polytopale permet également d’obtenir une généralisation du théorème de Descartes pour les empilements de sphères provenant des polytopes réguliers dans toutes les dimensions. Nous utilisons ce résultat pour caractériser l’intégralité des empilements apolloniens provenant des solides platoniciens. Puis, nous introduisons la notion de section apollonienne, et nous l’utilisons pour montrer que l’ensemble des courbures de tout empilement apollonien intégral tétraédrique, octaédrique ou cubique est contenu dans l’ensemble des courbures d’un empilement apollonien orthoplicial intégral. L’approche polytopale que nous proposons nous permet également d’étendre les applications des empilements apolloniens dans une nouvelle direction dans le domaine de la topologie. Dans cette thèse, nous introduisons deux méthodes de construction de représentations en colliers de noeuds et d’entrelacs. La première méthode découle directement du théorème d’empilements de cercles de Koebe-Andreev- Thurston, et donne une borne supérieure linéaire sur le nombre minimal de sphères nécessaires pour construire une représentation en collier en termes du nombre minimal de croisements. Dans la seconde méthode, nous utilisons la structure fractale des empilements apolloniens orthopliciaux pour construire des représentations en collier des entrelacs rationnels avec des propriétés arithmétiques intéressantes.
Fichier principal
Vignette du fichier
A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures.pdf (37.05 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-03480927 , version 1 (15-12-2021)
tel-03480927 , version 2 (20-12-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03480927 , version 2

Citer

Iván Rasskin. A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures. Combinatorics [math.CO]. Université de Montpellier, 2021. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03480927v2⟩
158 Consultations
4 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More