Hodge Zerlegung für die stabile Homologie der Automorphismengruppen der freien Gruppen

Hodge decomposition for stable homology of automorphism groups of free groups

Décomposition de Hodge pour l'homologie stable des groupes d'automorphismes des groupes libres

Aurélien Djament (1)

1 LPP - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524

Wir zeigen eine Zerlegung der stabilen Homologie der Automorphismengruppen der freien Gruppen mit kontravarianten polynomialen Koeffizienten durch Funktorhomologie. Die erlaubt explizite Berechnungen, die mit von Randal-Williams unabhängig bewiesenen Ergebnisse sich überschneiden, und einige davon zu verallgemeinern.

We establish a decomposition of stable homology of automorphism groups of free groups with polynomial contravariant coefficients in term of functor homology. This allows several explicit computations, intersecting results obtained by independent methods by O. Randal-Williams and extending some of them. Our methods rely on the investigation of Kan extensions associated to several categories of free groups, the extension of a cancellation criterium for homology with polynomial coefficients due to Scorichenko, Galatius Theorem identifying the stable homology of automorphism groups of free groups to the one of symmetric groups, the machinery of Gamma-spaces and the Snaith splitting.

On établit une décomposition de l'homologie stable des groupes d'automorphismes des groupes libres à coefficients polynomiaux contravariants en termes d'homologie des foncteurs. Elle permet plusieurs calculs explicites, qui recoupent des résultats établis de manière indépendante par O. Randal-Williams et généralisent certains d'entre eux. Nos méthodes reposent sur l'examen d'extensions de Kan dérivées associées à plusieurs catégories de groupes libres, la généralisation d'un critère d'annulation homologique à coefficients polynomiaux dû à Scorichenko, le théorème de Galatius identifiant l'homologie stable des groupes d'automorphismes des groupes libres à celle des groupes symétriques, la machinerie des Gamma-espaces et le scindement de Snaith.

Mots clés: foncteurs polynomiaux; Automorphismes des groupes libres; homologie des groupes et des foncteurs; construction de Grothendieck; extensions de Kan dérivées; groupes d'automorphismes des groupes libres; homologie des groupes; homologie des foncteurs; Γ-espaces et spectres; exten-sions de Kan dérivées Keywords : automorphism groups of free groups; group homology; functor ho-mology; polynomial functors; Γ-spaces and spectra; derived Kan extensions

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; K-théorie et homologie [math.KT]; Catégories et ensembles [math.CT]

Aurélien Djament. Décomposition de Hodge pour l'homologie stable des groupes d'automorphismes des groupes libres. 2019. ⟨hal-01214646v5⟩